Вступительные задания
2002 год

МАТЕМАТИКА

Для поступающих в 10 класс

1. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

2. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа
0² - 1² + 2² - 3² + 4² - ... - 2001² + 2002².

3. Решите систему уравнений:
2x⁹ + 3y³ = 2y⁹ + 3x³,
3x² + x = y² + 1.

4. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = a и ВС = b окружности, вписанные в треугольники АВС и АСD, касаются друг друга. Найдите АС.

5. В прямоугольном треугольнике АВС проведены биссектрисы ВL и СМ. Найдите острые углы треугольника АВС, если угол ВLМ равен 30°.

Для поступающих в 11 класс

1. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа
2002³ - 2001³ + 2000³ - ... + 2³ - 1³.

2. Дан треугольник с периметром 7. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, которые лежат вне треугольника и удалены от его границы не более чем на 1.

3. При каких значениях а уравнения
ax² + (a² - 1)x + a = 0 и (a² - 1)x² + ax + a = 0
имеют общий корень?

4. В параллелограмме АВСD высоты ВK и ВL (точки K и L лежат на сторонах АD и СD) пересекают диагональ АС в точках М и N соответственно. Найдите AB/AD , если AM/NC = 4/25, AL/AB = 5/7.

5. Решите уравнение
(x³ + x - 2)³ = 4 - x³.


ФИЗИКА

Для поступающих в 10 класс

1. Начальная скорость автомобиля равна нулю. Первую половину пути он движется с постоянным ускорением. На втором участке пути он движется с постоянной скоростью v₀ = 18м/с, которой он достиг в конце первого участка. Найдите среднюю величину скорости автомобиля на всем пути.

2. Плитку, на которую действует сила тяжести Р = 5 Н, прижимают к стене силой F = 12 Н, направленной горизонтально. Коэффициент трения скольжения плитки по стене µ = 0,5. Найдите силу, действующую на плитку со стороны стены.

3. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости. Величина ускорения шарика в положении наибольшего отклонения нити от вертикали в два раза меньше величины ускорения в момент прохождения положения равновесия. Найдите угол наибольшего отклонения нити.


Для поступающих в 11 класс

1. На рисунке 1 изображен процесс a - b, проведенный с одним молем идеального газа. Параметры состояний p₁ = p₀/2 , p₂ = p₀, V₁ = V₀, V₂ = 2V₀ связаны соотношением p₀V₀ = vRT₀, где v = 1 моль. Найдите максимальное значение температуры в этом процессе.

2. Заряд равномерно распределен по окружности радиусом R, расположенной в плоскости ху с центром в начале координат. Потенциал поля в начале координат равен f₀. Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить точечный заряд q из начала кооординат в точку с координатами х = у = 0, z = R.

3. В схеме на рисунке 2 емкости конденсаторов одинаковы, ЭДС батарей равны E₁ = 6 B и E₂ = 3 B. Найдите разность потенциалов точек m и n.

4. Рамка в форме квадрата AKCD, изготовленная из однородного провода, лежит на горизонтальной плоскости. Длина стороны рамки а = 10 см. К точкам А и С присоединяют провода, по которым проходит ток силой I = 1 А от точки С к точке А. Плоскость с рамкой помещают в однородное постоянное магнитное поле c индукцией B^-2 = 10 Тл. Вектор магнитной индукции параллелен направленному отрезку DK. Найдите приращение силы нормального давления рамки на стол.br>

ХИМИЯ

Для поступающих на химический поток

1. Предложите три способа получения селенита рубидия Rb₂SeO₃ из различных исходных веществ. Приведите уравнения соответствующих реакций.

2. Колба, заполненная хлороводородом при н.у., соединена трубкой с большой банкой с водой. Благодаря высокой растворимости хлороводорода вода полностью заняла колбу. Какова концентрация получившейся в колбе соляной кислоты: а) в моль/л; б) в % по массе? Изменением плотности раствора и объемом присоединенной к колбе трубки можно пренебречь.

3. Масса смеси кислорода и озона (озонированный кислород) в 9 раз больше массы того же объема гелия при тех же условиях. В каком объемном соотношении нужно смешать этот озонированный кислород с водородом для полного сгорания? Приведите уравнения реакций и соответствующие расчеты.